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二、随机变量

2.1 随机变量及其分布

（一）基本概念

定义1 随机变量

随机变量表示随机试验各种结果的实值单值函数，即能用数学分析方法来研究随机现象，例如某一时间内公共汽车站等车的乘客人数、淘宝在一定时间内的交易次数等，都是随机变量的实例，按照随机变量可能取得的值，可以把它们分为两种基本类型：离散型和连续性。

设随机试验的样本空间为S，称实值函数X=x(w)，w∈S为随机变量，一般记为X。

随机变量的性质

1.随机变量是定义在样本空间S上的，S中的元素可以不是数，而普通函数是定义在实数轴上的，变量的取值是数。

2.随机变量取值具有随机性且以一定的概率取值，描述所有可能取值的概率。

定义2 随机变量的分布函数

设X为随机变量，对任意实数x，称函数

F(X)=P{X≤x}=P{X∈（-∞，x]}

为随机变量X的分布函数，几何意义：X落在区间(-∞,x]上的概率。

1. 非负性：对于任意实数 x，分布函数 F(x) 都是非负的，即 F(x) ≥ 0。
2. 单调性：如果 x1
3. 有界性：分布函数的取值范围在 [0, 1] 之间，即 0 ≤ F(x) ≤ 1。
4. 右连续性：分布函数在每个点 x 处右连续，即 lim┌y→x⁺ F(y) = F(x)。
5. 极限性：当 x 趋向负无穷时，分布函数趋向于 0；当 x 趋向正无穷时，分布函数趋向于 1。

2.2 离散型随机变量

（一）定义

离散型随机变量即在一定区间内变量取值为有限或可列无穷多个，例如某地区某年人口的出生数、死亡数。

离散型随机变量根据不同的概率分布有伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、超几何分布等。

（二）常见的离散型随机变量分布

1. 0-1分布（伯努利分布）

介绍：

0-1分布是***简单的离散型随机变量分布，结果只能取0和1。

它只进行一次实验，描述两种可能结果中的一次出现。

公式：

设随机变量X只取0和1两个值，取1的概率为p（0≤p≤1），则取0的概率为1-p。

P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p

举例：

抛一次硬币，观察正反面，正面记为1，反面记为0。假设正面朝上的概率为p，则X服从参数为p的0-1分布。

2. 二项分布

介绍：

二项分布描述的是在n次独立的伯努利试验中，成功事件出现k次的概率。

每次试验中，成功事件出现的概率p保持不变。

公式：

P(X=k) = C(n, k) * pk * (1-p)(n-k)

其中，C(n, k)是组合数，表示从n个不同元素中取出k个元素的组合方式数。

举例：

抛掷一枚硬币n次，正面朝上的次数X服从参数为n和p的二项分布，其中p为正面朝上的概率。

3. 泊松分布

介绍：

泊松分布适用于描述单位时间内（或空间内）随机事件发生k次的概率。

它常用于描述稀有事件的发生次数，如一定时间内到达某地的车辆数、一定面积上某种细菌的数量等。

公式：

P(X=k) = (e(-λ) * λk) / k!

其中，λ是单位时间（或空间）内事件的平均发生率。

举例：

在某时间段内，平均有λ个顾客进入商店，则在该时间段内进入k个顾客的概率服从参数为λ的泊松分布。

4. 几何分布

介绍：

几何分布描述了在n次伯努利试验中，***成功出现所需的试验次数k的概率分布。

每次试验中成功的概率p保持不变。

公式：

P(X=k) = (1-p)^(k-1) * p

其中，k是***成功出现前的试验次数。

举例：

反复抛掷一枚硬币，直到***出现正面为止，所需抛掷的次数X服从参数为p的几何分布，其中p为正面朝上的概率。

5. 超几何分布

介绍：

超几何分布描述的是从有限个（N个）不同元素中抽取n个元素，其中成功事件（特定元素）出现k次的概率。

它与二项分布的不同之处在于，二项分布中每次试验都是独立的，且总体大小是无限的；而超几何分布中每次试验都不是完全独立的，且总体大小是有限的。

公式：

P(X=k) = (C(M, k) * C(N-M, n-k)) / C(N, n)

其中，M是总体中成功事件的个数，N是总体大小，n是抽取的样本大小，k是样本中成功事件的个数。

举例：

从一个装有M个红球和N-M个白球的袋子中随机抽取n个球，其中红球的数量X服从参数为N、M、n的超几何分布。

以上是对几种常见离散型随机变量分布的介绍、公式及举例。这些分布在统计学和概率论中有着广泛的应用，能够帮助我们理解和分析各种随机现象。